2.7 Рух тіла по колу. Кутова швидкість та кутове прискорення. Аналогія поступального і обертального рухів

При вивченні обертального руху зручніше характеризувати його не лінійними параметрами (шлях, швидкість, лінійне прискорення), а кутовими: кутом повороту, кутовою швидкістю, кутовим прискоренням. Зручність зумовлена тим, що для різних точок тіла кутові характеристики однакові на відміну від лінійних.

Дамо означення кутовим характеристикам обертального руху.

Кут повороту φ – це кут, на який повертається радіус-вектор будь-якої точки тіла. Вимірюється в радіанах. Довжина дуги (шлях S) зв’язана з кутом повороту (кутовою координатою) через радіус

(2.10)

Кутова швидкість ω – це границя відношення кута повороту ∆φ до проміжку часу ∆t, за який цей поворот здійснений, при умові, що  ∆t зменшується до нуля, тобто перша похідна від кута повороту за часом

(2.11)

Кут повороту є величина псевдоскалярна, так як його знак змінюється при переході від правої системи координат до лівої.

Тому кутову швидкість прийнято вважати вектором (рис.2.4), направленим вздовж осі обертання у відповідності з правилом правого гвинта: якщо обертати гвинт з правою різьбою разом з тілом, то поступальний рух      гвинта вкаже напрямок вектора кутової швидкості. З кінця цього вектора обертання тіла видно проти годинникової стрілки. Вимірюється кутова швидкість в рад/с.

Встановимо зв’язок між кутовою та лінійною швидкостями, скориставшись означеннями швидкостей (2.2), (2.11) і співвідношенням (2.10).

(2.12)

Вектори  , як видно із рис.2.4, взаємно-перпендикулярні. Тому рівняння (2.12) записують у векторній формі через векторний добуток

(2.13)

Кутове прискорення  – це границя відношення зміни кутової швидкості  до проміжку часу ∆t, за який ця зміна відбулася, при умові, що ∆t → 0, тобто це перша похідна від кутової швидкості за часом.

(2.14)

Так як вектор  направлений по осі обертання, то і вектор  , а отже і вектор кутового прискорення  теж направлений вздовж закріпленої осі обертання (рис.2.4). У випадку прискореного руху він співпадає з напрямком кутової швидкості і протилежний їй при сповільненому русі. Вимірюється кутове прискорення в рад/с2.

Встановимо зв’язок між лінійним та кутовим прискореннями, скориставшись (2.5), (2.13), (2.14) і (2.3),

Тут     (2.15)

,  (2.16)

відомі нам дотичне і нормальне прискорення.

Приклад. Одержимо рівняння рівнозмінного обертального руху. Для нього  (див. п.2.6, випадок 5). Це еквівалентно співвідношенням  , тобто  . Інтегруємо останнє рівняння з початковими умовами: при Одержимо рівняння

(2.17)

(2.18)

які аналогічні рівнянням прямолінійного рівнозмінного руху

                                      

Таким чином, між поступальним і обертальним рухами існує аналогія величин   і формул. Так у поступальному русі відома формула   Замінивши відповідні величини, одержуємо для рівнозмінного обертального руху .

 

 

 

You must be logged in to post a comment.

Фізика