7.3 Теорема Остроградського-Гаусса та її застосування до розрахунку електростатичного поля заряджених тіл

Для спрощення розрахунку полів симетричних заряджених тіл застосовується теорема Остроградського – Гауса: потік вектора електростатичної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, охоплених цією поверхнею.                                               (7.14)

Потоком dФ вектора  через площадку dS називається добуток вектора  на величину площадки dS і на косинус кута α між вектором  і нормальним до площадки dS одиничним вектором  (рис.7.7).

(7.15)

Площадку dS вважають вектором, який за напрямком співпадає з вектором . Якщо заряд, наприклад, q1 знаходиться за межами замкнутої поверхні (рис.7.8), потік дорівнює нулю. Дійсно, скільки силових ліній входить в об’єм, обмежений поверхнею, стільки ж і виходить. Силові ж лінії від заряду q2, який знаходиться всередині поверхні, тільки виходять з неї.

Розглянемо приклади застосування цієї теореми.

Приклад 1. Напруженість поля точкового заряду.

Поверхню S вибираємо у вигляді сфери радіусом r, в центрі якої  знаходиться заряд q (рис.7.9).

По теоремі Остроградського-Гауса маємо

     

Для різних точок сфери вектор D однаковий за величиною, так як всі вони однаково розміщені по відношенню до заряду q. Тому його винесли за знак інтегралу. А  

дає площу поверхні сфери.

Одержуємо

(7.16)

Приклад 2. Поле зарядженої по поверхні до заряду q металевої кулі радіусом R (рис.7.10).

Для r < R   Тому D = 0 і Е = 0. Поле всередині провідників відсутнє.   При r > R аналогічно прикладу 2,

(7.17)

Графік залежності індукції D від радіуса r показана на рис.7.12. На поверхні кулі індукція зазнає стрибкоподібної зміни на величину σ поверхневої густини вільних зарядів.

Приклад 3. Поле рівномірно зарядженої по об’єму до заряду q кулі радіусом R (рис.7.13).

Для r>R аналогічно прикладу 2 і 3

(7.18)

Об’ємна густина заряду

Вирази (7.18) приймуть вид

(7.19)

При r<R  одержуємо

(7.20)

або через густину заряду

           (7.21)

Графік залежності індукції D від радіуса r показана на рис.7.14. При r = R вирази (7.18)  і (7.20) дають однакову величину D. Отже на поверхні кулі вектор індукції розриву не зазнає.

Висновок. Із прикладів 1-3 видно, що поле зарядженої кулі за її межами таке ж, як і поле точкового заряду, якщо заряд кулі зосередити в її центрі (див. вирази (7.16)-(7.18).

Приклад 4. Поле нескінченної зарядженої осі (циліндра) з лінійною густиною заряду τ (рис.7.15).

Поверхню S виберемо у вигляді циліндра, вісь якого співпадає з зарядженою віссю. Для основ цього циліндра кут між  і  дорівнює 90о. Тому потік через основи дорівнює нулю. Для елементів   бічної поверхні цей кут дорівнює 0о. Отже можна записати

Одержуємо

(7.22).

Одержаний результат співпадає з (7.12).

Приклад 5. Поле нескінченної зарядженої площини з поверхневою густиною заряду σ (рис.7.16).

Поверхню S вибираємо у вигляді циліндра, основи якого радіусом r паралельні площині. Для бічної поверхні кут між  і  дорівнює 90о. Тому потік через бічну поверхню дорівнює нулю. Для елементів   основ цей кут дорівнює 0о.

Отже можна записати

Одержуємо

 (7.23).

Одержали такий же результат, як і в (7.13).

Приклад 6. Поле нескінченних паралельних різнойменно заряджених площин до густини зарядів  +σ  і  -σ.

По принципу суперпозиції .

Якщо густини зарядів однакові, то за межами площин  (рис.7.17), а між площинами

(7.24)


 

 

 

 

You must be logged in to post a comment.

Фізика