9.8 Циркуляція вектора напруженості магнітного поля. Закон повного струму. Магнітний потік. Теорема Остроградського- Гаусса для магнітного поля

Криволінійний інтеграл виду  називається циркуляцією вектора, в даному випадку напруженості магнітного поля. Знайдемо її значення на прикладі магнітного поля, створеного прямолінійним нескінченним провідником із струмом І. Виберемо довільний замкнутий контур ℓ, який охоплює провідник (рис.9.12).

Враховуючи(9.13) і одержимо

У загальному випадку  (9.23)

Циркуляція вектора напруженості магнітного поля дорівнює алгебраїчній сумі струмів, які охоплює цей контур. Це співвідношення називають законом повного струму. В (9.23) струми, напрямок яких співпадає з поступальним рухом правого гвинта, який обертається в напрямку обходу контура, беруться зі знаком (+), а протилежні – зі знаком (-). Слід зауважити, що форма контура ℓ  може бути довільною.

Той факт, що циркуляція вектора напруженості магнітного

поля відмінна від нуля , свідчить, що магнітне поле не потенціальне, а вихрове.

Застосуємо закон повного струму (9.23) для розрахунку магнітного поля.

Приклад 1. Поле прямолінійного нескінченного провідника зі струмом.

Так як форма контура не має значення, виберемо його у формі кола, площина якого перпендикулярна до провідника, а центр співпадає із провідником (рис.9.13). Це дає право вважати, що величина вектора напруженості у всіх точках контура однакова, а кут між вектором напруженості  і вектором  дорівнює 0о.

Тому маємо

Звідки одержуємо відому формулу (9.13)

Приклад 2. Поле довгого соленоїда. Виберемо контур ℓ у формі прямокутника рис.9.14. Будемо нехтувати крайовими ефектами, тобто будемо вважати, що магнітне поле зосереджене всередині котушки

Сума струмів дорівнює

Одержуємо

Отже напруженість

а індукція

як і по формулам (9.16).

Приклад 3. Поле тороїда. Тороїд – це котушка, намотана на тороїдальне осердя (бублик) (рис.9.15,а). Переріз тороїда показаний на рис.9.15,б. Розрахуємо напруженість магнітного поля для трьох областей: 1) всередині осердя; 2) в осерді; 3) зовні за межами осердя. Виберемо в кожній області кільцевий контур ℓ радіусом r і запишемо для кожного із них закон повного струму (9.23).

а). r < R1.

так як в контур не потрапляє ні один виток із струмом. Отже Н1 = 0.

б). R1 < r2 < R2.

в). r3 > R2.

тому що контур ℓ3 охоплює однакову кількість витків з протилежно направленими струмами.

Таким чином, за межами осердя поле відсутнє, а всередині осердя

(9.24)

В теорії магнетизму, так же, як і в електростатиці, вводиться поняття потоку вектора індукції (рис. 9.16)

(9.25)

Вn – проекція вектора індукції на перпендикуляр до площадки. Вимірюється потік у веберах

На відміну від потоку вектора електростатичної індукції через замкнуту поверхню, який, як відомо (7.14), дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, потік вектора індукції магнітного поля через довільну замкнуту поверхню дорівнює нулю

(9.26)

Це є теорема Остроградського Гауса для магнітного поля. Оськільки лінії індукції магнітного поля замкнуті, то число ліній індукції, які входять у замкнуту поверхню, дорівнює числу ліній, які виходять з цієї поверхні. Рівність нулю потіку вектора індукції магнітного поля через довільну замкнуту поверхню означає, щоі в природі не існує уособлених джерел північного, або південного полюсів магніту.

You must be logged in to post a comment.

Фізика