1.1 Комплексні числа та дії з ними

Число виду (1.1)

називається комплексним числом, записаним в алгебраїчній формі. Тут:   – дійсна (real) частина,   – уявна (imaginary) частина комплексного числа  – уявна одиниця. Число  з протилежною за знаком уявною частиною називається комплексно спряженим числом комплексному числу z.

Так же як будь-якому дійсному числу на числовій осі відповідає точка, так комплексному числу Z відповідає точка на комплексній площині X0Y (рис.1.1).  Положення точки Z на площині можна задати полярними координатами ρ і φ. Зв’язок між полярними і декартовими координатами очевидний із рис 1.1.

(1.2)

(1.3)

Підстановка  (1.2) в (1.1) дає тригонометричну форму комплексного числа                           (1.4)

ρ – модуль комплексного числа, φ – його аргумент.

З математики відомі формули розкладання в степеневий ряд таких функцій:

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

У формулі (1.6) згрупуємо члени  у відповідності з формулами (1.7), (1.8)

Отже тригонометрична форма комплексного числа (1.4) може бути перетворена в показову форму

(1.9)

Додавання і віднімання комплексних чисел зручно виконувати у алгебраїчній (1.1) чи в тригонометричній (1.4) формах шляхом зведення подібних членів. Але можна виконати ці операції і в показовій формі, зображаючи кожне комплексне число як вектор, довжина якого дорівнює модулю, а положення вектора задається аргументом φ, відрахованим від дійсної осі Х в позитивному напрямку (рис.1.2) проти годинникової стрілки. При цьому використовуються правила додавання і віднімання векторів, наприклад, правило паралелограма.

Множення, ділення, піднесення до степені зручніше виконувати з показовою формою комплексних чисел, наприклад,

You must be logged in to post a comment.

Фізика