1.2 Порядок розв’язку лінійних диференційних рівнянь другого прядку з постійними коефіцієнтами

Рівняння виду

(1.10)

називається лінійним (всі похідні в першій степені) диференційним рівнянням другого порядку (старша похідна) з постійними коефіцієнтами а і b. Розв’язок цього рівняння складається із суми

1) загального розв’язку  однорідного рівняння, тобто коли права частина f(t) = 0 і 2) часткового розв’язку  неоднорідного рівняння, яке залежить від виду функції  .

1) Загальний розв’язок однорідного рівняння має вид

(1.11)

де  корні характеристичного алгебраїчного рівняння

(1.12)

яке складається на основі рівняння (1.10) шляхом заміни похідних невідомою  в тій степені, який порядок похідної. Звернемо увагу, що х – це похідна нульового порядку. Тому доданок bx замінюється на  А і В – константи інтегрування знаходяться із початкових умов.

2) Частковий розв’язок  визначається видом функції  . Якщо ця функція має вид

(1.13)

то

(1.14)

С – третя константа інтегрування знаходиться із початкових умов.

Отже, загальний розв’язок рівняння (1.10) має вид

(1.15)

Зауваження. Якщо функцію  не можна прямо звести до виду (1.13), то до неї можна додати будь-яку функцію, або число такі, щоб можна було перевести одержаний комплексний вираз у показову форму, тобто звести до виду (1.13). Тоді розв’язок видозміненого рівняння буде мати вид (1.14). Після знаходження константи інтегрування С із одержаного розв’язку  беруть тільки дійсну чи уявну частину у відповідності з тим, якою була функція  у вихідному диференційному рівнянні: дійсною чи уявною. Такий прийом дає можливість розв’язувати диференційні рівняння з досить різноманітними функціями  .

You must be logged in to post a comment.

Фізика