1.4 Розв’язок диференційного рівняння незатухаючих гармонічних коливань

Розв’яжемо рівняння (1.16) для електричних коливань, яке являється лінійним однорідним диференційним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами. Порядок його розв’язку був розглянутий у розділі 1.2. Складаємо характеристичне алгебраїчне рівняння

Його корені  

Загальний розв’язок рівняння (1.16) записуємо у вигляді (1.11)

(1.17)

Константи інтегрування А і В знайдемо із початкових умов:

при (1.18)

Знайдемо закон зміни струму з часом,  продиференціювавши рівняння (1.17).                          .        (1.19)

Підставляємо умови (1.18) в (1.17) і (1.19). Маємо систему алгебраїчних рівнянь

Отже із (1.17) одержуємо  (1.20) гармонічний закон зміни заряду.

Тут врахована формула Ейлера

яку можна одержати, скориставшись степеневими рядами (1.5)-(1.8).

Аналогічно для механічних коливань зміщення від положення рівноваги

(1.21)

Рівняння (1.20), (1.21) називаються рівняннями гармонічних незатухаючих коливань. Намалюємо графіки цих коливань.

 

You must be logged in to post a comment.

Фізика