1.8 Додавання гармонічних коливань одного напрямку рівних частот

Нехай вектор довжиною хо обертається відносно свого початку проти годинникової стрілки (прийнятий позитивний напрямок) з кутовою швидкістю ωо. Початкове положення вектора задано кутом φ утвореним з позитивним напрямком осі ох (рис.1.13). За час t вектор повернеться на кут і буде утворювати з віссю ох кут  (ωоt + φ). Запишемо проекції цього вектора на осі координат в момент часу t

    
Бачимо, що ці вирази є не що інше, як рівняння незатухаючих гармонічних коливань (див. (1.22)). Отже, гармонічне коливання можна геометрично представити вектором, довжина якого дорівнює амплітуді коливання,  кутова швидкість обертання дорівнює циклічній частоті, а початкове положення вектора дорівнює початковій фазі коливання.

Скористаємось таким геометричним  уявленням для додавання  

двох коливань одного напрямку і однакових частот

(1.45)

Так як кутові швидкості обох векторів однакові, то вони обертаються синхронно, тобто взаємне положення векторів не змінюється з часом. Тому зобразимо ці коливання векторами у початковий момент часу  (рис.1.14).

Результуючим буде гармонічне коливання з новою амплітудою хо1 і новою початковою фазою φ.

(1.46)

Модуль вектора хо – амплітуду результуючого коливання, знайдемо по теоремі косинусів як сторону трикутника, яка знаходиться проти кута  із сторонами хо1  і хо2. Врахувавши формулу додаткового кута   маємо

(1.47)

Початкова фаза

Так як проекції результуючого вектора дорівнюють алгебраїчній сумі проекцій його доданків, маємо

(1.48)

Зауваження: назва тригонометричних функцій в рівняннях коливань, які додаються (1.45) і результуючого (1.46) повинні бути однаковими, тобто соs, або sin.

       

You must be logged in to post a comment.

Фізика