1.10 Додавання взаємно перпендикулярних гармонічних коливань (Фігури Ліссажу)

Нехай точка одночасно приймає участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях вздовж осі х і вздовж осі у. Вона буде рухатись в площині хоу по деякій траєкторії, яка називається фігурою Ліссажу. Знайдемо рівняння цієї траєкторії. Для цього необхідно виключити з рівнянь коливань параметр t – час і одержати зв’язок між x і y.

Розглянемо спочатку випадок однакової частоти коливань

Поділимо кожне рівняння на відповідну амплітуду і розкладемо синус суми кутів

(1.49)

 

(1.50)

 

Помножимо (1.49) на cosφ2 , (1.50) – на cosφ1 і віднімемо одне рівняння із другого. Потім  помножимо (1.49) на sinφ2 , (1.50) – на sinφ1 і віднімемо одне рівняння із другого. Враховуючи, що одержимо

Підносимо обидва рівняння до квадрату і додаємо. Враховуючи основну тригонометричну тотожність і формулу косинуса різниці кутів

одержимо

(1.51)

Це рівняння еліпса з повернутими осями відносно координатних осей. Розглянемо декілька варіантів різниці фаз (φ2 – φ1)

  1. 2 – φ1) = 0. Із (1.51) одержимо

рівняння прямої лінії в 1-му і 3-му квадрантах (рис. 1.16, а).

2.(φ2 – φ1) =. Із (1.51) одержимо

рівняння прямої лінії в 2-му і 4-му кв

адрантах (рис. 1.16, б).

3.

Із (1.51) одержимо

рівняння еліпса (рис.1.16, в).

 

Якщо частоти коливань різні, фігури Ліссажу мають більш складний вид. Розглянемо, наприклад, результат додавання коливань

частоти яких відрізняються в два рази.

Звільняємося від часу t. Із першого рівняння маємо  , а із другого

Одержали рівняння квадратної параболи (рис.1.17). Точка буде рухатись (коливатись) по частині параболи, не виходячи за амплітудні значення координат: хо = 3, yо = 2.

По виду фігур Ліссажу можна визначити відношення частот взаємно перпендикулярних коливань

Воно обернене відношенню чисел перетину відповідних осей координат за період точкою, яка рухається по фігурі Ліссажу. В наведеному прикладі

 

 

 

You must be logged in to post a comment.

Фізика