1.13 Вимушені коливання. Диференційне рівняння вимушених коливань та його розв’язок

Вимушеними називаються коливання, що виникають у системі під дією періодичного зовнішнього фактору. Це може бути періодична сила, змінна напруга і т.ін.

Нехай на пружинний маятник діє періодична сила, яка змінюється по гармонічному  закону з циклічною частотою  .

Запишемо другий закон Ньютона

Після спрощень, одержимо

Позначивши

одержимо диференційне рівняння вимушених коливань пружинного маятника

В коливальний контур увімкнено джерело змінної напруги    з циклічною частотою Ω. Записуємо другий закон Кірхгофа

Позначивши

одержимо диференційне рівняння вимушених електричних коливань

(1.56)

Видно, що обидва рівняння ідентичні. Будемо розв’язувати рівняння електричних коливань.

У відповідності з §1.2  Тут  рівняння (1.54) незатухаючих власних коливань    часткове рішення неоднорідного рівняння (1.56). Згідно із зауваженням §1.2 переведемо праву частину рівняння (1.56) в показову форму  , додавши до неї вираз 

Одержуємо нове рівняння

(1.56*)

Частковий розв’язок цього рівняння має вид Константу інтегрування А знайдемо, підставивши цей вираз в (1.56*).

 

Після скорочення на  знайдемо

Тут комплексне число у знаменнику переведене із алгебраїчної форми в показову.

Модуль цього числа

(1.57),

його аргумент

(1.58)

Таким чином   Знайдемо  шляхом виділення із  дійсної частини, так як права частина рівняння (1.56) дійсне число. Отже

Загальний розв’язок рівняння (1.56) вимушених коливань

(1.59)

складається із двох гармонічних функцій: перша із частотою ω власних затухаючих коливань і амплітудою, яка зменшується з часом по експоненті; друга із частотою Ω зовнішнього фактору, амплітудою та початковою фазою, які не залежать від часу, але залежать від частоти Ω (див.(1.57), (1.58)).

Через час приблизно  амплітуда першого доданку в (1.59) практично зникає. Наступає сталий режим вимушених коливань

(1.60)

 

 

 

You must be logged in to post a comment.

Фізика