2.4 Швидкість передачі енергії хвилями. Групова швидкість

При поширенні пружної хвилі речовина не переноситься, а передається лише стан деформації середовища, а отже передається енергія. Знайдемо об’ємну густину енергії середовища, в якому поширюється хвиля

Ця енергія складається із кінетичної енергії dWК руху об’єму середовища dV в коливальному русі навколо свого положення рівноваги і потенціальної енергії dWП деформації цього об’єму.

Кінетична енергія

Для знаходження потенціальної енергії dWП  будемо розглядати елемент об’єму dV у вигляді циліндра довжиною ℓ і площею основи σ. Нехай поширюється повздовжня хвиля. Тоді відносне стиснення елемента dV 

Згідно із законом Гука

Звідси знаходимо

Потенціальна енергія

Із (2.11) знаходимо модуль Юнга

Одержуємо

Врахуємо, що  хвильове число  одержимо

Кінетична енергія дорівнює потенціальній.

Отже, густина енергії

(2.12)

пропорційна квадрату амплітуди і частоти.

З’ясуємо, з якою швидкістю переноситься енергія хвилею. Це є швидкість переміщення точок, в яких густина енергії максимальна, тобто коли

Візьмемо першу похідну із останнього виразу за часом. Одержимо

Гармонічна монохроматична (однієї частоти) хвиля переносить енергію з фазовою швидкістю.

Реальні хвилі немонохроматичні, а уявляють собою суму гармонійних хвиль різних частот (гармонік), які можна знайти розкладом негармонійної хвилі на гармоніки згідно з тригонометричним рядом Фур’є

Другими словами, кожна хвиля уявляє собою пакет гармонійних хвиль з різними частотами. В цьому випадку мова йде про швидкість перенесення енергії групою хвиль. Ця швидкість називається груповою. Так як енергія хвиль пропорційна квадрату амплітуди, то логічно за групову швидкість U прийняти швидкість переміщення максимуму амплітуди пакету хвиль.

Нехай маємо найпростіший пакет двох хвиль із близькими частотами і хвильовими числами та однаковими амплітудами

Тут

(2.13)

Знайдемо результуюче рівняння пакету хвиль. Для цього додамо ці два рівняння, скориставшись формулою суми косинусів

Одержимо, враховуючи (2.13),

Це рівняння є рівнянням одномірної хвилі з частотою ω та хвильовим числом k, амплітуда якого

залежить від координати х і часу t і уявляє рівняння хвилі з частотою  і хвильовим числом 

Так як енергія пропорційна квадрату амплітуди, знайдемо швидкість переміщення максимуму амплітуди пакету. Очевидно, що це є фазова швидкістю хвилі амплітуди, яка і буде груповою швидкістю U передачі енергії пакетом хвиль.

(2.14)

Встановимо зв’язок між фазовою та груповою швидкостями

Так як

Одержимо

Отже

(2.15)

Похідна  відображає дисперсію середовища. При її відсутності  і групова швидкість дорівнює фазовій   При наявності дисперсії групова і фазова швидкості різні. Це приводить до розмиття

пакету хвиль при його поширенні в дисперсійному середовищі. При нормальній дисперсії  і групова швидкість більша фазової   При анормальній дисперсії  і групова швидкість менша

фазової   Характер розмиття пакету показано на рис.2.3.

You must be logged in to post a comment.

Фізика