2.9 Диференційна форма рівнянь Максвела. Рівняння електромагнітних хвиль. Властивості електромагнітних хвиль

Перетворимо ліві частини першого (2.28) і другого (2.31) рівнянь Максвела за допомогою теореми Стокса: циркуляція будь-якого вектора по контуру ℓ дорівнює потоку ротора цього вектора через поверхню, обмежену цим контуром

  (2.33)

Векторна функція ротор задається визначником третього порядку

(2.34)

Рівняння (2.28), (2.31) набудуть виду

Поміняємо порядок операцій диференціювання за часом і інтегрування по координатам і врахуємо (2.30). Прирівнюємо підінтегральні вирази і одержуємо рівняння Максвела в диференційній формі

(2.35)

(2.36)

Одержимо диференційне рівняння електромагнітних хвиль, які поширюються в діелектричному середовищі. Електропровідність такого середовища σ = 0, а значить і густина струму  . Враховуючи зв’язок між індукціями і напруженостями, рівняння (2.35) і (2.36) набудуть виду

(2.37)

(2.38)

Застосуємо до цих рівнянь операцію ротора

Підставляємо значення роторів із (2.37), (2.38)

Можна показати, що

Одержуємо диференційні рівняння електромагнітної хвилі

(2.39)

(2.40)

Вони уявляють диференційні хвильові рівняння (див. розділ 2.2, формулу (2.8), коефіцієнт перед похідною в правій частині яких обернений квадрату швидкості поширення хвилі. Отже швидкість електромагнітних хвиль

(2.41)

Для повітря, або вакууму ε = 1, μ =1 ,

що співпадає із швидкістю світла. На цій основі Максвел запропонував електромагнітну теорію світла.

Покажемо, що електромагнітна хвиля поперечна. Нехай плоска хвиля поширюється вздовж осі х, тобто фронт хвилі (площина) перпендикулярна осі х. Напруженості електричного і магнітного полів у будь-якій точці хвильової поверхні однакові, а тому вони не залежать від координат y і z, тобто похідні по цим координатам дорівнюють нулю. Прирівняємо праві частини рівнянь (2.34) і (2.37)

або

Прирівняємо відповідні проекції і врахуємо нульові похідні

(2.42)

(2.43)

Бачимо, що проекції напруженостей на вісь х дорівнюють нулю, а вектори напруженостей направлені вздовж осей z і y, тобто взаємно-перпендикулярні (рис.1.12): коли вектор Е направлений вздовж осі y вектор Н вздовж осі z і навпаки, а вектор швидкості вздовж осі x. А це і означає поперечних характер електромагнітної хвилі.

Знайдемо закон зміни напруженостей. Для розглянутої вище хвилі рівняння (2.39), (2.40) набудуть виду

    

одномірних хвильових рівнянь, розв’язком яких є рівняння хвиль

або

Підставимо ці вирази в (2.42) і в(2.43). Одержимо

Ці рівняння виконуються при умовах:і

Із останніх виразів знаходимо співвідношення між амплітудами напруженостей електричного і магнітного полів

(2.44)

Отже ми встановили такі властивості електромагнітних хвиль:

  1. Швидкість поширення дорівнює швидкості світла
  2. Це хвилі поперечні, причому вектори напруженостей перпендикулярні між собою і перпендикулярні до вектора швидкості.
  3. Електромагнітна хвиля описується рівняннями гармонічних хвиль, причому фази коливань електричного і магнітного полів однакові
  4. Між амплітудами напруженостей існує зв’язок (2.44) через електричні і магнітні властивості середовища.
  5. Електромагнітні хвилі, так же як і світло, відбиваються, заломлюються, можуть бути поляризованими.

You must be logged in to post a comment.

Фізика