2.2 Фазовий простір мікрочастинок та його квантування. Густина квантових станів

Стан мікрочастинки характеризується трьома координатами x,y, z і трьома проекціями імпульсу px, py, pz. Такий шестимірний простір називається фазовим простором.  Величина

(2.3)

називається елементом цього простору. Тут   dГv= dx×dy×dz – елемент об’єму,  dГр=dpx×dpy×dpz – елемент простору імпульсів.

Для класичної частинки ці величину можуть бути скільки завгодно малими, тому що фізичні величини змінюються неперервно. Для квантових же частинок, які мають хвильові властивості, фізичні величини змінюються дискретно. У відповідності з принципом невизначеності Гейзенберга    dx×dpx≥h;  dy×dpx≥h;  dz×dpz ≥h, де h – стала Планка. Тому мінімальний об’єм фазового простору    dГ=dГv×dГр= h3.

Для вільних квантових частинок, тобто коли на них не діє силове поле, важливими є їхня кінетична енергія, або імпульс, тому що вони можуть займати будь-яку точку геометричного простору.В цьому випадку зручніше користуватись не 6-мірним фазовим простором, а   3-мірним простором імпульсів, найменший елемент якого dГр= h3/V, де V – об’єм системи.

Поділ фазового простору на найменші елементи dГ, чи dГр називається його квантуванням. Знайдемо густину квантових станів спочатку у просторі імпульсів g(p), а потім перейдемо до енергій g(E). Для цього у просторі імпульсів виберемо сферу радіусом р, і порахуємо кількість елементів dГр в сферичному шарі товщиною dp. На рис.2.1 зображена ⅛ частина цього шару у першому квадранті. Кількість квантових станів g(p)×dp у цьму сферичному шарі дорівнює відношенню його об’єму 4πp2dp до мінімального об’єму елементу dГр. Маємо

(2.4)

Тоді густина квантових станів

(2.5)

Знайдемо функцію g(E). Для цього в рівняння (2.4) підставимо імпульс

Після спрощень одержимо

звідки маємо для густини квантових станів по енергіям

(2.6)

Графіки функцій (2.5) і (2.6) густини квантових станів:


Із графіків видно, що з ростом р і Е густина g(p) і g(E) квантових станів зростає, а тому критерій частоти зіткнень частинок зменшується і може від значення близького до 1 зменшитись до значення набагато меншого за 1. А це означає, що система із виродженої може стати невиродженою, або кажуть виродження знімається.

Для електронів, враховуючи, що у кожному квантовому стані може знаходитись дві частинки з протилежними спінами, густина квантових станів у два рази більша, ніж за виразами (2.5) і (2.6).

Приклад. З’ясувати характер двох систем: 1) азот при нормальних умовах; 2) електронний газ в металах і напівпровідниках.

Оцінимо критерій К виродженості системи. Кількість частинок N=n×V, де n-концентрація, V- об’єм системи. Кількість квантових станів

Враховуючи, що енергія частинки

після скорочень одержуємо

Для азоту маємо: n=2,7×1025 м-3–це число Лошмідта,  m=28×1,66×10-27 кг, Т=273К, h=6,62×10-34 Дж×с, k=1,38×10-23 Дж/К. Розрахунок дає К≈10-6 <<1. Це набагато менше за 1. Отже азот – система не вироджена.

В металах концентрація порядку 5×1028 м-3, тобто приблизно у 1000 разів більша, маса електрона m=9×10-31 кг на 5 порядків менша. Це приводить до зростання К. Щоб значення критерію К було в межах 0,5-1, потрібна температура приблизно 105 К. А при таких температурах метали в твердій фазі не існують. Отже електронний газ в металах завжди вироджений і описується квантовою статистикою Фермі-Дірака. У напівпровідниках же концентрація електронів на 6 порядків менша, ніж у металах. Тому ця система навіть при кімнатній температурі невироджена і описується класичною статистикою Максвелла-Больцмана.

You must be logged in to post a comment.

Фізика