3.3 Дебаєвська теорія теплоємності твердих тіл

Квантова теорія теплоємності твердих тіл була розроблена у 1912 році німецьким фізиком Дебаєм в рамках фононної моделі твердого тіла. Термодинамічна енергія кристалу складається із енергії нормальних коливань. Знайдемо коливальну енергію Егр кристалічної гратки як енергію усіх фононів із врахуванням розподілу по частотам (енергіям), аналогічно, як це робилося в розділі 2.5 (див. чисельник формули (2.14))

(3.8)

Підставимо в (3.8) вирази (3.6) і (3.7), а також замінимо верхню межу інтегрування з ∞ на ωD, тому що більшої частоти коливань у кристалі не виникає. Одержимо

 (3.9)

Для взяття інтегралу виконаємо такі заміни:

Після підстановок і спрощень, враховуючи, що   одержуємо

(3.10)

Інтеграл (3.10) і молярну теплоємність знайдемо для двох температурних інтервалів, врахувавши, що

Область високих температур Т>>θD. Для таких температур ћω<<kT, тобто  x<<1, внаслідок чого в степеневому ряді  можна обмежитись першими двома членами, так як наступні набагато менші від них.

Тоді енергія гратки

  (3.11)

а молярна теплоємність

(3.12)

Таким чином, в області високих температур теорія Дебая дає відомий закон Дюлонга і Пті.

Область низьких температур Т<<θD. Для таких температур верхню межу  інтеграла (3.10) можна замінити нескінченністю. Враховуючи, що

є табличним, одержуємо

  і

(3.13)

В області низьких температур молярна теплоємність пропорційна кубу абсолютної температури (3.13). Це закон Дебая  (див. рис.3.1), який добре узгоджується з експериментом .

You must be logged in to post a comment.

Фізика