3.6 Теплопровідність кристалічної гратки

Явище  теплопровідності заключається в передачі теплоти від більш нагрітих до менш нагрітих частин системи. У фононній моделі твердого тіла передача теплової енергіїї здійснюється фононами. Чим більша температура тим більша енергія і концентрація фононів. За рахунок наявності градієнта концентрації відбувається „дифузія” фононів у напрямку зменшення температури, тобто в напрямку зменшення енргії фононів. Ангармонічний характер коливань атомів твердого тіла являється причиною взаємодії одна з одною негармонічних пружніх хвиль. Або другими словами, фонони розсіюються на фононах аналогично зіткненню між молекулами газу. Фонон-фононна взаємодія викликає появу так званого теплового опору, і чим він більший, тим гірше передається тепло. За відсутності такої взаємодії тепло передавалося б із швидкістю звуку.

Знайдемо коефіцієнт теплопровідності і проаналізуємо його залежність від температури, скориставшись аналогією фононної моделі твердого тіла і молекулярного газу. Рівняння теплопровідності має вигляд (див.Ч1, розд.6.12)

(3.22)

де q – теплова енергія, яка переноситься за одиницю часу через одиничну площу, перпендикулярну до напрямку градієнта температури  ΔS – площа, χ – коефіцієнт теплопровідності

(3.23)

Тут: μ – молярна маса, ρ – густина, υ – швидкість руху фононів, тобто швидкість звуку,   λФ – довжина вільного пробігу фононів,                   С – молярна теплоємність твердого тіла. Із усіх цих величин залежними від температури є теплоємність і довжина вільного пробігу, яка, подібно до вільного пробігу молекул газу, обернено пропорційна концентрації фононів.

Таким чином,

(3.24)

Область високих температур Т>>θD. У цій області енергія фононів досягає свого максимального значення kθD. Енергію гратки можна знайти як енергію усіх фононів, а враховуючи (3.11), можна записати

звідки

(3.25)

концентрація фононів пропорційна температурі. Теплоємність, згідно з (3.12), не залежить від температури. Таким чином, одержуємо, що коефіцієнт теплопровідності обернено пропорційний температурі рис. 3.7.

В області низьких температур Т<θD енергія гратки, згідно з (3.13) пропорційна Т4 , а енергія фононів Еф = kT пропорційна температурі. Тому концентрація фононів пропорційна Т3. Теплоємність також ~ Т3. Тому коефіцієнт теплопровідності від температури не залежить.

В області наднизьких температур  Т<<θD концентрація фононів стає настільки малою, що вони уже між собою не взаємодіють, а розсіюються тільки на поверхні кристалу. (Цей стан аналогічний стану вакууму для газів). Теплоємність у цій області, а отже і коефіцієнт теплопровідності ~ Т3.

You must be logged in to post a comment.

Фізика