4.2 Поняття про зони Бріллюена

Згідно з гіпотезою де Бройля електрон має хвильові властивості з довжиною хвилі

де h – стала Планка, р = mυ – імпульс. Кінетична енергія

Імпульс можна виразити через хвильове число

Тоді кінетична енергія буде

(4.1)

Ця залежність енергії від хвильового числа називається дисперсійною кривою. Для вільного електрона вона уявляє квадратну параболу.

Якщо вільний  електрон рухається в кристалі, на нього діє періодичне поле атомів. Розв’язуючи рівняння Шредінгера для електрона, який рухається в періодичному полі, вимога нерозривності хвильової функції та її перших похідних приводить до того, що дисперсійна крива Е(k) (рис.4.4) зазнає розривів при значеннях хвильових чисел    k = ±n×π/a,  де n = 1, 2,3…, а – період поля (стала кристалічної гратки).

Пунктиром показана дисперсійна крива вільного електрона, суцільною – електрона в кристалі. Інтервали значень хвильового числа k, в межах яких енергія змінюється неперервно, а на границях зазнає розриву, називаються зонами Бріллюена. 1-а зона простирається від –π/а до +π/а, 2-а від -2π/а до -π/а і від + π/а до +2 π/а і т.д. На рис.4.4 показані дисперсійні криві і зони Бріллюена для лінійного одноатомного ланцюга. У трьохмірному випадку зони Бріллюена уявляють собою досить складні замкнуті поверхні –  багатогранники, вставлені один в один. Їх називають дисперсійними поверхнями

Відмітимо загальні властивості границь зон Бріллюена і зон дозволених значень енергії:

а) Дно зони дозволених значень енергії відповідає мінімуму дисперсійних поверхонь (зон Бріллюена);

б) Стеля зони дозволених значень енергії відповідає максимуму дисперсійних поверхонь (зон Бріллюена).

в) В межах зони Бріллюена між мінімумом і максимумом завжди є точка перегину.

You must be logged in to post a comment.

Фізика