4.3 Ефективна маса електронів. Поняття про дірки

Для описання поводження електрона в кристалі необхідно знати форму дисперсійних поверхонь. Але досконала їх форма не завжди відома та виявляється не завжди і потрібна. Достатньо сформульованих вище трьох загальних властивостей. Вияснимо, як впливають ці властивості на поводження електрона в кристалі?

Для вільного електрона дисперсійна крива описується рівнянням (4.1). Візьмемо з цього рівняння похідну по хвильовому числу k і знайдемо його

(4.2)

Тоді імпульс електрона

а його швидкість

(4.3)

Нехай на електрон з боку електричного чи магнітного поля діє деяка сила. Знайдемо прискорення, взявши з виразу (4.3) похідну за часом

 (4.4)

З другого боку по другому закону Ньютона імпульс сили дорівнює зміні імпульсу  Fdt = dp, або, враховуючи, що р = ћ×k, одержуємо

(4.5)

Підставимо (4.5) в (4.4)

де ефективна маса

(4.6)

Ефективна маса враховує вплив силового поля кристалу на рух у ньому електронів і визначається другою похідною із дисперсійної кривої по хвильовому числу k. Проаналізуємо залежність (4.6) в особливих точках дисперсійних кривих. Видно, що знак і величина mеф визначається другою похідною.

а) Поблизу дна зони дозволених значень енергій дисперсійна крива має мінімум. Як відомо, у цьому випадку друга похідна із функції позитивна. Отже і mеф > 0.

б) Біля стелі зони дисперсійна крива має максимум, і друга похідна функції негативна. Отже і mеф < 0 ! Це означає, що прискорення електрона в кристалі протилежне тому, яке мав би  вільний електрон. Наприклад, в електричному полі вільний електрон  рухається проти напруженості, а в кристалі у випадку mеф < 0 по полю. Причиною цього є досить велике внутрішнє поле кристалу, яке переважає прикладене зовнішнє поле. Тому для спостерігача здається, що електрон веде себе як позитивна частинка з позитивною ефективною масою. Таку частинку назвали діркою. У зв’язку з цим були введені поняття ефективної маси електронів mn і дірок mp.

в) В точці перегину, тобто поблизу середини зони дозволених значень енергії, друга похідна дорівнює нулю, а ефективна маса прямує до нескінченності. Це випадок, коли сила зв’язку електрона  настільки велика, що зовнішнє поле не може привести електрон у прискорений рух.

г) Ефективна маса як електронів, так і дірок може бути більшою, або меншою від маси спокою вільного електрона m. Наприклад, для германію  mn=0,56m, mp=0,59m; для кремнію mn=1,08m,  mp=0,37m. Це зумовлено впливом внутрішнього поля кристала. У випадку коли воно допомагає дії зовнішньої сили ефективна маса менша від маси спокою вільного електрона, а коли протидіє – більша.

 

You must be logged in to post a comment.

Фізика