4.8 Застосування законів збереження імпульсу і енергії до центрального удару куль

Ударом називається явище кінцевої зміни швидкостей тіл за відносно короткий проміжок часу їх взаємодії між собою. Розрізняють центральні і косі удари. При центральному ударі вектори швидкостей співпадають за напрямком з лінією, що з’єднує центри мас тіл (рис.4.11,а). При косих ударах вектори швидкостей утворюють з цією лінією кут, відмінний від нуля (рис.4.11,б). Ми будемо розглядати центральний удар. Які ж процеси відбуваються при ударі? Кінетична енергія тіл в момент удару частково, або повністю перетворюється в потенціальну енергію деформації, яка потім, в залежності від характеру деформації, повністю, або частково знову перетворюється в кінетичну енергію і в тепло (тіла нагріваються за рахунок деформації).

Розглянемо центральний удар двох куль, які рухаються горизонтально, що дає можливість не враховувати зміну потенціальної енергії в полі тяжіння Землі. Запишемо закон збереження імпульсу (4.20) і закон збереження енергії (4.21) з врахуванням теплоти Q, яке виділяється при ударі

(4.20)

(4.21)

 

 

Маємо систему двох рівнянь з трьома невідомими: U1, U2, Q. В загальному випадку вона не має розв’язку. Тому цю задачу розв’язують для двох ідеальних випадків:

– абсолютно не пружний (пластичний) удар, після якого тіла         рухаються як одне ціле. Тому можна записати третє рівняння

U1 = U2 = U    (4.22)

–абсолютно пружній удар, при якому теплота не виділяється, тобто

Q = 0     (4.23)

Абсолютно пластичний удар. Маємо систему рівнянь:

(4.24)

звідки знаходимо

(4.25)

Розглянемо випадок, коли одне із тіл, наприклад, друге не рухається, тобто  V2 = 0. Одержуємо:

– Коли m2 >> m1, тобто легким тілом m1 ударяють по нерухомому масивному тілу m2. Q = Eк1 – в енергію деформації перетворюється майже вся кінетична енергія тіла, яке ударяє, наприклад, ковка деталей.

– Коли m2 << m1. Важким тілом m1 ударяють по легкому нерухомому тілу m2.

– в енергію деформації перетворюється незначна доля енергії тіла, яке ударяє, тобто вся енергія перетворюється в кінетичну енергію, наприклад,  пори забиванні цвяхів.

Абсолютно пружний  удар. Маємо систему рівнянь:

(4.26)

Знаходимо із цієї системи швидкості тіл  U1 і U2  після удару. Перепишемо систему так:

Розкладемо у другому рівнянні різницю квадратів

(4.27)

(4.28)

Враховуючи (4.27) після скорочення (4,28) одержимо систему лінійних рівнянь

(4.29)

(4.30)

 

Помноживши (4.30) на m2 і віднімаючи із (4.29), знаходимо  . Помноживши (4.30) на m1 і додаючи до (4.29), знаходимо

(4.31)

 

(4.32)

 

Розглянемо два випадки співвідношення мас:

а) m1 = m2 =m, тобто маси тіл однакові. У цьому випадку маємо

тобто тіла „обмінюються” швидкостями;

б) m2 >> m1 – легке тіла m1 ударяє по масивному m2. Одержимо

Швидкість масивного тіла m2 не змінюється, а швидкість легкого тіла змінюється на подвоєну початкову швидкість масивного тіла.  Якщо легке тіло m1 наздоганяє масивне m2, швидкість легкого тіла зменшується на подвоєну швидкість V2 масивного. Якщо легке тіло m1 рухається назустріч масивному m2, то його швидкість збільшується на подвоєну швидкість V2 масивного тіла.

Критерієм пружного чи пластичного удару є коефіцієнт відновлення k. Це відношення відносних швидкостей тіл до і після удару

(4.33)

Для абсолютно пластичного удару k = 0, для абсолютно пружного       k = 1.

 

 

 

You must be logged in to post a comment.

Фізика