4.11 Основне рівняння динаміки обертального руху

Нехай деяке тіло може обертатись навколо закріпленої осі. Виділимо елемент ∆mi цього тіла, положення якого задається радіус-вектором  . На цей елемент діють зовнішні сили  і внутрішні сили  , тангенціальні складові яких      надають йому дотичного прискорення  Записуємо другий закон Ньютона для цього елементу

(4.38)

Щоб перейти до моментів сил рівняння (4.38) векторно домножаємо на радіус-вектор

Так як  , маємо

(4.39)

Звернемо увагу, що кутове прискорення не має індексу і так як воно

для всіх точок тіла однакове.

Скориставшись формулою подвійного векторного добутку

, спростимо праву частину (4.39)

так як радіус-вектор і кутове прискорення взаємно перпендикулярні. Візьмемо суму по всьому об’єму тіла

Тут перший доданок є векторна сума моментів зовнішніх сил, які діють на тіло

  другий доданок – це векторна сума внутрішніх сил.

Вона дорівнює нулю, так як в противному випадку елемент ∆mi рухався б відносно інших елементів. А це означало б можливість деформації тіла, що ми виключили, ввівши поняття абсолютно твердого тіла.

Отже

Вираз      (4.40)

залежить від розподілу маси тіла відносно осі обертання і називається моментом інерції тіла. Це міра інертності тіла в обертальному русі, аналог маси в поступальному русі. Вимірюється момент інерції в кг∙м2. Таким чином, основне рівняння динаміки обертального руху набуває виду

(4.41)

Враховуючи, що   рівняння (4.41) прийме вид

(4.42)

Величина  , яка дорівнює добутку моменту інерції на кутову швидкість, називається моментом імпульсу (аналог імпульсу  в поступальному русі).

Якщо система замкнута, тобто сума моментів зовнішніх сил дорівнює нулю,  то момент імпульсу системи не змінюється (зберігається). Це є закон збереження моменту імпульсу, який аналогічний закону збереження імпульсу в поступальному русі.

 

 

 

 

You must be logged in to post a comment.

Фізика