6.9 Барометрична формула. Больцманівський розподіл молекул в силовому полі

Барометричною формулою називається залежність тиску Р атмосфери Землі в залежності від висоти h над її поверхнею. Знайдемо її. Для цього виділимо нескінченно малий циліндр повітря висотою dh і площею основи dS (рис.6.9). Позначимо тиск на нижню основу Р(h),

на верхню P(h+dh). Маса повітря в цьому циліндрі dm = ρ·g∙dh∙dS. Густину знайдемо із (6.5) рівняння Клапейрона-Менделєєва 

Запишемо умову рівноваги циліндра. Горизонтальні сили тиску, які діють на бічну поверхню взаємно компенсуються. Залишаються вертикальні сили

Інтегруємо це рівняння з граничними умовами: при h = 0 P = Po.

де m – маса однієї молекули, Еп – потенціальна енергія молекули в гравітаційному полі Землі. Формула (6.26) показує, що по мірі збільшення висоти тиск зменшується по експоненті.

Враховуючи основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії (6.14)  формула (6.25) перейде в формулу Больцманівського розподілу молекул по потенціальним енергіям  (6.27)

Вираз (6.27) показує, що на більш високому енергетичному рівні знаходиться менше частинок (рис.6.10). При Еп2 > Еп1  n2 < n1. Такий розподіл частинок називається нормальним. Якщо ж на більш високому енергетичному рівні знаходиться більше частинок, тобто при Еп2 > Еп1  n2 > n1, такий розподіл називається інверсною заселеністю енергетичних рівнів. Це термодинамічно нерівноважний стан системи. Саме таке заповнення рівнів необхідне для роботи лазерів.

Із виразу (6.27) випливає, що з пониженням температури концентрація молекул на висотах, відмінних від нуля зменшується, і при Т = 0К стає рівною нулю. Це означає, що при Т = 0К всі молекули знаходяться на поверхні Землі, тобто при h = 0. Отже силове поле намагається розмістити частинки в положення з мінімальною потенціальною енергією. Тепловий же рух навпаки намагається розподілити молекули рівномірно. Внаслідок цих протилежних факторів і встановлюється експоненціальний розподіл молекул з висотою.

 

You must be logged in to post a comment.

Фізика